まずは、べき集合が非可算であることを示す。
可算とは自然数の集合Ｎから対象の集合Ｘへの上への関数が存在していることを指す。つまり、集合Ｘには対応していないＮが存在しないことになる。
ようするに、集合Ｘの要素にそれぞれ自然数の番号を付けていくことができるか？ということと同じ意味になる。
有限な集合は当然番号を振ることができるので、可算である。整数は、マイナスを余計に数えればよいので、問題ない。
整数が大丈夫であれば、どんな数でも大丈夫のような気がするが、実数や自然数の部分集合全体の集合（ようするにべき集合のこと）は可算ではない。
なぜか？ここで登場するのが、対角線論法である。
まず、Ｐ（Ｎ）を可算であるとする。
そうすると、可算の定義より、ある上への関数ｆ：Ｎ→Ｐ（Ｎ）が存在する。（定義そのまま）
ここで、（ここがポイントなのだが、）Ｎのある部分集合Ｓを以下のように定義する
Ｓ＝｛ｎ∈Ｎ｜ｎはｆ（ｎ）の要素ではない｝
こんな反則のような部分集合を定義する。ｆ（ｎ）は定義より部分集合なのだが、その中の一つの値ｎについて異なる部分集合を考えてみようということだ。
ところが、一方ｆは上への関数なので、あるｏ∈Ｎが存在してｆ（ｏ）＝Ｓである。ようするにこのＳも自然数の部分集合なのでちゃんとｏ番目で対応付けがされなくてはならない。
しかし、対応付けできないのである。
なぜなら、ｏ番目がＳの要素だということは、Ｓの定義であるｏはｆ（ｏ）の要素ではないという定義に矛盾するし、ｏ番目がＳの要素ではないとすると、ｆ（ｏ）＝Ｓの定義に矛盾する。
これは考えてみれば当たり前である。Ｓはすべての順序づけられた部分集合とはｎの部分だけが要素ではない部分集合であるから、絶対にどこかが違うのである。
どうだろうか。まだ、なんか狐につままれたようなお話だ。
